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第133章 找星星（第3页）

首先，他需要把整数嵌入到一个连续空间中。

不是实数轴，那太平凡了。

他需要的是一个能够同时编码乘法和加法结构的高维空间。

阿德尔环闪过他的脑海。

那是代数数论中的標准工具，把所有素数p的p进数域和实数域放在一起，形成一个巨大的拓扑环。

整数在这个环中的嵌入是n?（n，n，n，。。。），每个分量是n在对应完备化中的像。

但肖宿想要的不是標准阿德尔环，而是一个经过“辛整形”的版本。

他写下第一行：

定义1（顾—辛特徵空间）：设x为所有素数p对应的p进数域的受限乘积，赋予由顾—辛度量定义的拓扑结构。对於每个整数n，定义嵌入φ:?→x，使得φ（n）的第p分量为nmodp^k的极限。

这个定义不算新鲜。但接下来，肖宿做了关键的一步。

他引入了一个“加权函数”w（p）=（p—1）p·logp。

这个函数来自他在《数学发明》上发表的那篇关於有理点估计的论文，在那篇论文中，他用这种加权函数修正了点分布的误差项。

定义2（加权度量）：对於x中的两点x=（x_p）和y=（y_p），定义它们之间的距离为d（x，y）=Σw（p）·|x_py_p|_p

其中|·|_p是p进绝对值。

这个度量很奇怪。

它是一维p进度量的加权和，权重与素数的大小有关。

大素数贡献更大，小素数贡献更小。

就好像在说，素数的“重要性”与其大小成正比。

肖宿写下这个定义后，停顿了一下。

这个度量能收敛吗？

他快速估算了一下。

|x_py_p|_p的最大值是1，所以级数受控於Σw（p）。

而Σw（p）~Σ（logp）p，这是一个发散级数，就像调和级数一样，缓慢地、但坚定地趋向无穷。

所以d（x，y）可以是无穷大。

那就有意思了。

只有当x和y“足够接近”时，距离才有限。

肖宿的眼睛亮了。