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第134章 迷宫（第1页）

他的手动的飞快，空白的草稿纸被逐渐填满。

定义3（孪生条件）：两个整数m和n是孪生素数对，若且唯若：

1。φ（m）和φ（n）都是x中的“算术奇点”，即对应素数的像；

2。d（φ（m），φ（n））=2；

其中2是所有p进分量差异的加权和。

如果m和n是孪生素数对，比如3和5，那么对於大多数素数p，|3—5|_p=|—2|_p。

对於p≠2，|—2|_p=1，因为—2不被p整除。

对於p=2，|—2|_2=12，因为2整除—2一次。

所以d（φ（3），φ（5））=Σw（p）·1（对p≠2）+w（2）·（12）。

因为Σw（p）发散，所以这个和发散。

所以3和5在加权度量下的距离是无穷大？

肖宿皱起眉头。

不对，这样定义有问题。

他意识到，如果直接用原始定义，任何两个不同整数的距离都是无穷大，因为对无穷多个p，|m—n|_p=1。

加权和自然发散。

需要修改。

也许不是所有p都计入？

也许只有那些对“区分”m和n有贡献的p才计入？

肖宿托腮思考了一会儿，他觉得定义2还不够完备。

定义2在实际计算中，应该只考虑那些|m—n|_p≠0的p，即p不整除m—n。

对於这些p，|m—n|_p=1。

所以d（φ（m），φ（n））正比於这些p的权重和。

当m—n固定时，这个和发散，所以需要正规化。

减去发散项，留下有限部分。

肖宿自己曾经在《数学发明》那篇论文中用过类似的技巧：对於素数计数函数的误差项，减去主项后，剩余部分可以用一个收敛的级数表示。

在这里也可以用同样的方法。

定义2（正规化加权度量）：定义正规化距离d?（φ（m），φ（n））=lim_{x→∞}[Σ_{p≤x，p?（m—n）}w（p）Σ_{p≤x}w（p）p]

这个定义的精妙之处在於，第一项求和是对所有不整除（m—n）的素数，第二项减去的是所有素数的某种平均。

当x→∞时，两个发散项抵消，留下一个有限值。

肖宿开始估算这个值。

对於固定的差值k=m—n，不整除k的素数占比大约是n_{p|k}（1—1p）。

所以第一项约等於（n_{p|k}（1—1p））·Σ_{p≤x}w（p）。

第二项是Σ_{p≤x}w（p）p。

两者相减后，主项抵消，剩下的是一个收敛级数。

当k=2时，只有p=2整除k。