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第46章 解决（第2页）

设g是李群，h是闭子群，则齐性空间m=gh上有一个自然的g作用：g·（xh）=（gx）h。

“如果我们的嵌入映射f:v→m把图的节点映射到齐性空间m中，那么节点间的相似性就可以用m上的距离来度量。”

“而这个距离在g作用下是不变的，如果两个嵌入向量相差一个群元素的作用，它们代表的节点应该具有相同的结构角色。”

实验室里很安静，只有肖宿的笔划过白板的声音。

几个博士生努力跟上，黄伟良偶尔点头，李雨薇皱著眉头，显然有些地方还没完全理解。

“但实际问题中，对称性不是完全的。”

赵明远指出，“社交网络中的关係不是完全对称的。”

“所以要用『软作用。”

肖宿说，“允许群作用有误差。我们可以定义一个损失函数，包含两部分：一部分度量嵌入在齐性空间上的擬合优度，另一部分度量对称性破缺的程度。”

他写下了一个优化问题：

min_{f:v→m，g∈g}Σ_{v∈v}d（f（v），g·f（π（v）））2+λ·Σ_{（u，v）∈e}|d（f（u），f（v））-w（u，v）|

其中d是齐性空间上的距离，π是某个节点映射，w是边的权重，λ是正则化参数。

“这个优化问题可以用交替叠代法求解。”

肖宿说，“固定f优化g，固定g优化f。每一步都是凸优化或者有闭式解。”

当肖宿放下笔时，一套完整的理论框架已经呈现在白板上。

从李群和齐性空间的定义，到嵌入模型的构建，到优化算法的设计，再到理论性质的分析。

实验室里沉默了几秒，然后爆发出低声的议论。

“这框架……太完整了。”

黄伟良喃喃道，“从数学基础到算法实现，一气呵成。”

“我需要时间消化。”

李雨薇诚实地说，“李群作用、齐性空间、软对称性……这些概念我得回去查资料。”

赵明远则更务实：“现在需要验证。肖宿，你估计实现这个算法需要多少行代码？”

肖宿想了想。

“核心算法大概五百行。但需要一些李群运算的库，指数映射、对数映射、测地线计算这些。”

“我们有现成的。”

赵明远说，“实验室之前做过一些流形优化的项目，积累了不少代码。我马上组织人开始实现。”

接下来的两个小时，实验室进入了高效的工作状態。

赵明远分配任务，黄伟良负责实现李群运算的核心模块，李雨薇负责编写优化算法，另外两个博士生负责准备测试数据和设计实验。

肖宿则坐在白板前，隨时解答问题，或者补充一些数学细节。

键盘敲击声密集而规律，像是一场数字世界的交响乐。

肖宿看著实验室里忙碌的眾人，突然有一种陌生的感觉。