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第209章 分层筛法（第2页）

如果把素数看作某个算子的特徵值呢？

这个想法听起来有点疯狂，但数学史上不乏这样的先例。

黎曼猜想本质上就是在研究一个函数，黎曼ζ函数的零点分布。

那些零点，就可以看作某个算子的谱。

肖宿忽然想起去年在普林斯顿的时候，德利涅提过一句：有些数论问题，用代数几何的方法会看得更清楚。

代数几何研究的是多项式方程的解集。

如果把素数看作某些多项式方程的解，那哥德巴赫猜想就变成了关於这些解集的加法性质的问题。

他继续往下写：

“设v_p={x∈z:x≡0modp}，这是p的倍数集合。素数p本身，可以看作是这个集合的生成元。”

“对任意偶数n，考虑所有满足p≤n的素数p。每个p对应一个集合v_p。n能被写成两个素数之和，若且唯若存在p，q使得n∈v_p+v_q。”

这个视角把问题从“找素数”变成了“找集合之间的加法关係”。

肖宿盯著这个表述，脑子里忽然闪过一个念头。

在辛几何里，“拉格朗日子流形”可以用弗洛尔同调来描述。

如果把这里的v_p看作某种离散版本的“子流形”，那么n∈v_p+v_q这件事，是不是也可以看作某种“相交”？

如果是这样，那g（n）的值，也许就和某种相交数有关。

而相交数，在合適的条件下，是拓扑不变量，也就是说，不管你怎么扰动，只要扰动的方式合適，这个数就不变。

肖宿的心跳快了一拍。

如果哥德巴赫猜想的本质是一个拓扑不变量的问题，那么它的证明，就不需要精確控制每个细节，只需要证明那个不变量不为零。

他深吸一口气，继续往下推：

“设x为所有素数构成的集合。考虑x的某种紧化或完备化，使其成为一个拓扑空间。

在这个空间上，定义一种加法结构，使得每个偶数n对应一个特定的子空间。

那么，哥德巴赫猜想成立，若且唯若这个子空间与x+x相交非空。”

“如果能证明这个相交数在某种意义下是稳定的，並且对於n=4（4=2+2）已知相交数非零，那么由稳定性，对所有更大的n，相交数也非零。”

这个思路听起来很抽象，但数学上並非不可能。

肖宿想起自己之前研究过的顾辛流型。

那种流型的一个关键性质，就是它的弗洛尔同调在哈密顿扰动下保持不变。

如果能构造一个合適的流型，使得素数集合对应於它的某个拉格朗日子流形，那么哥德巴赫猜想就变成了一个几何定理。

沿著这条路，肖宿继续向前探索。

他先从最基础的地方开始，重新梳理了筛法和圆法的理论框架。

筛法的核心思想，是用一个“筛子”去过滤掉那些不想要的数。

比如要研究素数，就先列出所有整数，然后筛掉所有2的倍数、3的倍数、5的倍数……剩下的就是素数。

但筛法有个问题：筛子太密的时候，误差项会失控。